13x13
KNIGHT COVERING
OPTIMALITY PROOF
28 knights are required to cover a 13x13 board.
The proof is divided into cases.
Case 1: there does not exist an unoccupied (3,3) square.
Case 2: there exists an unoccupied (3,3) square.
Case 2 is subdivided based on the status of the
other three (3,3) squares.
Case 2A: there exists exactly one unoccupied (3,3) square.
Case 2B: there exists at least two unoccupied (3,3) squares.
Case 2B is further subdivided for the two choices
of unnoccupied (3,3) square pairs.
Case 2B1: the upper left and upper right (3,3) squares
are unoccupied.
Case 2B2: the upper left and lower right (3,3) squares
are unoccupied.
Cases 1, 2A, 2B1, and 2B2 are proved below.
=========================
See the Divide and Round Proof Technique
for an explanation of the following notation and reasoning.
=========================
13x13 proof case 1
There does not exist an unoccupied (3,3) square.
This means that all four (3,3) squares are occupied.
So to prove that a total of 28 knights are required,
we need to prove that it takes 24 more knights to cover
the remaining squares.
five single-square constraints
multiplied by 2
- - - 2 - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - -
- 2 - - - - - - - - - 2 - - a - - - - - - - - - b -
- - - 2 - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - -
2 - 2 - - - - - - - 2 - 2 - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 2 - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 2 - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - c - - - - - -
- - - - 2 - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 2 - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2 - 2 - - - - - - - 2 - 2 - - - - - - - - - - - - -
- - - 2 - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - -
- 2 - - - - - - - - - 2 - - d - - - - - - - - - e -
- - - 2 - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 10
sixteen single-square constraints
1 - - - - - 1 - - - - - 1 a - - - - - o - - - - - b
- - 1 - 1 - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - 1 - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 2 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 2 1 2 1 2 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - 1 1 1 3 3 3 1 1 1 - - - - - - - c d e - - - - -
1 - - 2 2 3 - 3 2 2 - - 1 o - - - - f - g - - - - o
- - 1 1 1 3 3 3 1 1 1 - - - - - - - h i j - - - - -
- 1 - 1 2 1 2 1 2 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 2 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - 1 - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - 1 - 1 - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 - - - - - 1 - - - - - 1 k - - - - - o - - - - - l
>= 16
four small triangle constraints
- - - - 1 1 - 1 1 - - - - - - - - - a - a - - - - -
- - - 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - a - - - - - -
- - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - 1 - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - - - - - 1 - 1 1 b - - - - - - - - - - - c
- 1 1 - - - - - - - 1 1 - - b - - - - - - - - - c -
1 1 - 1 - - - - - 1 - 1 1 b - - - - - - - - - - - c
1 - 1 - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - 1 - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - d - - - - - -
- - - - 1 1 - 1 1 - - - - - - - - - d - d - - - - -
>= 8
add above three constraint sets
1 - - 2 1 1 1 1 1 2 - - 1 o - - - - o o o - - - - o
- 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 - - o - - - - o - - - - o -
- 1 - 2 1 1 1 1 1 2 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
2 1 2 - 1 2 2 2 1 - 2 1 2 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 2 3 2 3 2 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 2 3 3 3 3 3 2 1 1 1 o - - - - o o o - - - - o
1 1 1 2 2 3 2 3 2 2 1 1 1 o o - - - o o o - - - o o
1 1 1 2 3 3 3 3 3 2 1 1 1 o - - - - o o o - - - - o
1 1 1 1 2 3 2 3 2 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
2 1 2 - 1 2 2 2 1 - 2 1 2 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 2 1 1 1 1 1 2 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 - - o - - - - o - - - - o -
1 - - 2 1 1 1 1 1 2 - - 1 o - - - - o o o - - - - o
>= 34
multiply by 2
2 - - 4 2 2 2 2 2 4 - - 2 o - - - - o o o - - - - o
- 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 - - o - - - - o - - - - o -
- 2 - 4 2 2 2 2 2 4 - 2 - - - - - - - - - - - - - -
4 2 4 - 2 4 4 4 2 - 4 2 4 - - - - - - - - - - - - -
2 2 2 2 4 6 4 6 4 2 2 2 2 - - - - - - - - - - - - -
2 2 2 4 6 6 6 6 6 4 2 2 2 o - - - - o o o - - - - o
2 2 2 4 4 6 4 6 4 4 2 2 2 o o - - - o o o - - - o o
2 2 2 4 6 6 6 6 6 4 2 2 2 o - - - - o o o - - - - o
2 2 2 2 4 6 4 6 4 2 2 2 2 - - - - - - - - - - - - -
4 2 4 - 2 4 4 4 2 - 4 2 4 - - - - - - - - - - - - -
- 2 - 4 2 2 2 2 2 4 - 2 - - - - - - - - - - - - - -
- 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 - - o - - - - o - - - - o -
2 - - 4 2 2 2 2 2 4 - - 2 o - - - - o o o - - - - o
>= 68
twenty-eight single-square constraints
2 1 2 - 1 1 1 1 1 - 2 1 2 - - a - - b o c - - d - -
1 - 2 2 2 1 - 1 2 2 2 - 1 - - e - - - - - - - f - -
2 2 - 1 2 1 2 1 2 1 - 2 2 g h - - - - - - - - - i j
- 2 1 2 - - - - - 2 1 2 - - - - - - - - - - - - - -
1 2 2 - - - - - - - 2 2 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 k - - - - - - - - - - - l
1 - 2 - - - - - - - 2 - 1 o - - - - - - - - - - - o
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 m - - - - - - - - - - - n
1 2 2 - - - - - - - 2 2 1 - - - - - - - - - - - - -
- 2 1 2 - - - - - 2 1 2 - - - - - - - - - - - - - -
2 2 - 1 2 1 2 1 2 1 - 2 2 o p - - - - - - - - - q r
1 - 2 2 2 1 - 1 2 2 2 - 1 - - s - - - - - - - t - -
2 1 2 - 1 1 1 1 1 - 2 1 2 - - u - - v o w - - x - -
>= 28
four small triangle constraints
- - - - 1 1 - 1 1 - - - - - - - - - a - a - - - - -
- - - 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - a - - - - - -
- - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - 1 - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - - - - - 1 - 1 1 b - - - - - - - - - - - c
- 1 1 - - - - - - - 1 1 - - b - - - - - - - - - c -
1 1 - 1 - - - - - 1 - 1 1 b - - - - - - - - - - - c
1 - 1 - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - 1 - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - d - - - - - -
- - - - 1 1 - 1 1 - - - - - - - - - d - d - - - - -
>= 8
four a3 constraints
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - a - a - - - - -
- - - 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - a - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - a - a - - - - -
- 1 - 2 - 1 - 1 - 2 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 2 - 1 - 2 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 - - - - - 1 1 1 1 b - b - - - - - - - c - c
1 1 1 - 1 - - - 1 - 1 1 1 - b - - - - - - - - - c -
1 1 1 1 - - - - - 1 1 1 1 b - b - - - - - - - c - c
1 - 1 - 2 - 1 - 2 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 2 - 1 - 1 - 2 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - d - d - - - - -
- - - 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - d - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - d - d - - - - -
>= 12
four b3 constraints
1 - 1 1 1 - 1 1 - - - 1 1 a - a - a - a - - - - - b
1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 - - - - - - - a - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - b
- - - - 1 - 1 - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - b
1 - 1 - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - b -
1 1 - 1 - - - - - 1 - 1 1 c - - - - - - - - - - - b
- 1 1 - - - - - - - 1 - 1 - c - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - - - - - - - 1 - c - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - 1 - 1 - 1 - 1 - c - - - - - - - - - - - -
- - 1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 - - - - - - - d - - - - -
1 1 - - - 1 1 - 1 1 1 - 1 c - - - - - d - d - d - d
>= 12
another four b3 constraints
1 1 - - - 1 1 - 1 1 1 - 1 a - - - - - b - b - b - b
- - 1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 - - - - - - - b - - - - -
1 1 - - - 1 - 1 - 1 - 1 - a - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - - - - - - - 1 - a - - - - - - - - - - - -
- 1 1 - - - - - - - 1 - 1 - a - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - - - - - 1 - 1 1 a - - - - - - - - - - - c
1 - 1 - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - c -
- 1 - - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - c
- - - - 1 - 1 - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - c
1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 - - - - - - - d - - - - - - -
1 - 1 1 1 - 1 1 - - - 1 1 d - d - d - d - - - - - c
>= 12
add above six constraint sets
6 2 3 5 6 6 6 6 6 5 3 2 6 o - o - o o o o o - o - o
2 4 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 2 - o o - - o o o - - o o -
3 6 - 6 6 6 6 6 6 6 - 6 3 o o - - - o - o - - - o o
5 6 6 4 3 6 6 6 3 4 6 6 5 - - - - - - - - - - - - -
6 6 6 3 6 6 5 6 6 3 6 6 6 o - - - - - - - - - - - o
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 o o o - - o o o - - o o o
6 6 6 6 5 6 4 6 5 6 6 6 6 o o - - - o o o - - - o o
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 o o o - - o o o - - o o o
6 6 6 3 6 6 5 6 6 3 6 6 6 o - - - - - - - - - - - o
5 6 6 4 3 6 6 6 3 4 6 6 5 - - - - - - - - - - - - -
3 6 - 6 6 6 6 6 6 6 - 6 3 o o - - - o - o - - - o o
2 4 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 2 - o o - - o o o - - o o -
6 2 3 5 6 6 6 6 6 5 3 2 6 o - o - o o o o o - o - o
>= 140
divide by 6 and round
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - o - o o o o o - o - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - o o - - o o o - - o o -
1 1 - 1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 o o - - - o - o - - - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - - - - - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - - o o o - - - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - - - - - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 o o - - - o - o - - - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - o o - - o o o - - o o -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - o - o o o o o - o - o
>= 24
=========================
13x13 proof case 2A
There exists exactly one unoccupied (3,3) square.
Whichever (3,3) is unoccupied, we can rotate and reflect
the board to make that square in the upper left corner.
The upper left (3,3) square forbidden to be occupied
and the other three (3,3) squares are occupied.
So to prove that a total of 28 knights are required,
we need to prove that it takes 25 more knights to cover
the remaining squares.
four single square constraints
multiply by 2
2 2 2 - - - - - - - - - - a b - - - - - - - - - - -
2 - 2 2 - - - - - - - - - c - - - - - - - - - - - -
2 2 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 2 - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 2 - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - d - - - - - -
- - - - 2 - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 2 - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 8
two c3 constraints
- - - - - - - 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - a - a - a
- - - - - - 1 - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - a - a -
- - - - - - - 1 - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - a
- - - - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - - - - - - - - - b - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - - - - - - - - - - - b - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - - - - - - - - - b - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - 1 - - - - - - - - - b - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 - - - - - - - - - b - b - - - - - - - - - -
>= 6
twenty-five single-square constraints
- - - 2 1 - 1 1 1 - - - 1 - - - a - - b c - - - - d
- 3 - - 1 2 1 - 1 1 1 - - - e - - - - f - - - - - -
- - 0 1 2 1 1 1 2 - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
2 - 1 - 1 1 2 1 1 - - 1 - g - - - - - - - - - - - -
1 1 2 1 - 1 1 1 1 - 2 1 1 - - - - - - - - - - - - -
- 2 1 1 1 3 2 2 1 2 1 1 1 - - - - - h - i - - - - j
1 1 1 2 1 2 - 3 1 2 2 1 1 k l - - - - - m - - - n o
1 - 1 1 1 2 3 1 1 2 1 1 1 p - - - - q r s - - - - t
1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - 1 2 2 2 1 - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - 2 1 2 1 2 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - u - - - - - -
1 - - - 1 1 1 1 1 - - - - v - - - - w x y - - - - -
>= 25
add above three constraint sets
2 2 2 2 1 - 1 2 2 1 1 1 2 o o - o - - o o o - o - o
2 3 2 2 1 2 2 - 2 2 2 1 1 o o - - - - o - - o - o -
2 2 0 1 2 1 1 2 2 1 - 2 1 - - - - - - - - - - - - o
2 2 1 - 1 1 2 1 2 - 1 1 1 o - - - - - - - - - - - -
1 1 2 1 - 3 1 3 1 - 2 2 1 - - - - - - - - - - - - -
- 2 1 1 3 3 2 2 3 2 1 1 1 - - - - - o - o - - - - o
1 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 1 1 o o - - - - o o - - - o o
2 - 2 1 3 2 3 1 3 2 1 1 1 o - - - - o o o - - - - o
2 2 2 2 1 3 1 3 2 1 2 1 1 o - - - - - - - - - - - -
1 2 1 - 1 2 2 2 1 - - 1 - - o - - - - - - - - - - -
1 2 - 1 2 1 2 1 2 - - - - o - - - - - - - - - - - -
1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 - - - - o - - - - o - - - - - -
2 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - o - o - - o o o - - - - -
>= 39
multiply by 2
4 4 4 4 2 - 2 4 4 2 2 2 4 o o - o - - o o o - o - o
4 6 4 4 2 4 4 - 4 4 4 2 2 o o - - - - o - - o - o -
4 4 0 2 4 2 2 4 4 2 - 4 2 - - - - - - - - - - - - o
4 4 2 - 2 2 4 2 4 - 2 2 2 o - - - - - - - - - - - -
2 2 4 2 - 6 2 6 2 - 4 4 2 - - - - - - - - - - - - -
- 4 2 2 6 6 4 4 6 4 2 2 2 - - - - - o - o - - - - o
2 4 2 4 2 4 4 6 2 4 4 2 2 o o - - - - o o - - - o o
4 - 4 2 6 4 6 2 6 4 2 2 2 o - - - - o o o - - - - o
4 4 4 4 2 6 2 6 4 2 4 2 2 o - - - - - - - - - - - -
2 4 2 - 2 4 4 4 2 - - 2 - - o - - - - - - - - - - -
2 4 - 2 4 2 4 2 4 - - - - o - - - - - - - - - - - -
2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 - - - - o - - - - o - - - - - -
4 2 2 2 2 2 2 2 2 - - - - o - o - - o o o - - - - -
>= 78
two a4 constraints
- - - - - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - b
- - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - b
- - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - b
- - - - - - - - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - b -
- - - - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - b
- - - - - - - - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - b -
- - - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - b
1 - 1 - 1 1 1 1 1 - 1 - 1 - - - - - a - a - - - - -
1 - 1 1 1 1 1 1 - 1 1 1 - a - a - a - a - - - a - -
>= 8
two c3 constraints
- - - - - - - - - 1 1 1 1 - - - - - - - - - - a - a
- - - - - - - - 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - - - a -
- - - - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - a
- - - - - - - - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - a -
- - - - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - a
- - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - 1 - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - b
- - - - - - 1 - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - b - b -
- - - - - - - 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - b - b - b
>= 6
two c3 constraints
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - b
1 - 1 - 1 - - - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - b -
1 1 - 1 - 1 - - - 1 - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- 1 1 1 1 - 1 - 1 - 1 1 1 - a - a - - - - - - - b -
1 1 1 1 1 1 - - - 1 1 1 1 a - a - a - - - - - b - b
>= 6
twenty-eight single-square constraints
1 1 1 1 1 2 2 1 - 2 - - - a - - - b c d e - - - - -
1 - 2 1 3 1 1 2 1 1 - 1 - - - - - f - - g - - - h -
1 2 0 1 1 3 3 1 1 2 - - - - - i - - - - - - - - - -
1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 - - - - - - - - - - - - -
1 3 1 1 2 - 1 - 2 - 1 - 1 j k - - - - - - - - - - -
2 1 3 2 - - 1 1 - 1 1 2 1 l - - - - - m - - - n - o
2 1 3 1 1 1 - - 3 - 2 - 2 p - - - - q - - - - - - -
1 2 1 1 - 1 - 2 - 1 1 2 1 r s - - - - - - - - t - u
- 1 1 1 2 - 3 - 2 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
2 1 2 1 - 1 - 1 - 2 1 2 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - 1 1 1 2 1 1 1 - 1 - - - - - - v - w - - - - -
- 1 - 2 - 2 - 2 - 2 1 1 - - x - - - - - - - - - y -
- - - 1 1 1 2 1 1 1 - - 1 - - - - - z - A - - - - B
>= 28
add above five constraint sets
5 5 5 5 3 2 4 5 4 5 3 4 6 o o - o o o o o o - o - o
5 6 6 5 5 5 5 2 6 5 6 4 3 o o - - o - o o - o - o -
5 6 0 3 5 5 5 5 5 5 - 6 4 - - o - - - - - - - - - o
5 5 3 2 3 4 5 3 5 1 5 5 5 o - - - - - - - - - - o -
3 5 5 3 2 6 3 6 4 2 5 6 5 o o - - - - - - - - - - o
2 5 5 4 6 6 5 5 6 5 5 5 5 o - - - - o o o - - o o o
4 5 5 5 3 5 4 6 5 5 6 5 5 o o - - - o o o - - - o o
5 4 5 3 6 5 6 4 6 5 5 5 5 o o - - - o o o - - o o o
4 6 5 5 4 6 5 6 6 4 5 5 4 o - - - - - - - - - - - o
5 5 5 1 4 5 5 5 4 2 4 5 4 - o - - - - - - - - - o -
3 6 - 5 5 5 6 5 5 4 - 4 3 o - - - - o - o - - - - o
3 4 6 5 6 5 5 5 5 5 4 3 3 - o - o - o o o - o - o -
6 3 4 5 5 5 5 5 4 4 3 3 3 o - o - o o o o o - o - o
>= 126
multiply by 2
10 10 10 10 6 4 8 10 8 10 6 8 12 o o - o o o o o o - o - o
10 12 12 10 10 10 10 4 12 10 12 8 6 o o - - o - o o - o - o -
10 12 0 6 10 10 10 10 10 10 - 12 8 - - o - - - - - - - - - o
10 10 6 4 6 8 10 6 10 2 10 10 10 o - - - - - - - - - - o -
6 10 10 6 4 12 6 12 8 4 10 12 10 o o - - - - - - - - - - o
4 10 10 8 12 12 10 10 12 10 10 10 10 o - - - - o o o - - o o o
8 10 10 10 6 10 8 12 10 10 12 10 10 o o - - - o o o - - - o o
10 8 10 6 12 10 12 8 12 10 10 10 10 o o - - - o o o - - o o o
8 12 10 10 8 12 10 12 12 8 10 10 8 o - - - - - - - - - - - o
10 10 10 2 8 10 10 10 8 4 8 10 8 - o - - - - - - - - - o -
6 12 - 10 10 10 12 10 10 8 - 8 6 o - - - - o - o - - - - o
6 8 12 10 12 10 10 10 10 10 8 6 6 - o - o - o o o - o - o -
12 6 8 10 10 10 10 10 8 8 6 6 6 o - o - o o o o o - o - o
>= 252
a3 constraint with c3 constraint
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - a - a - - - - -
- - - 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - a - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - a - a - - - - -
- - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - 1 - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - b
- - - - - - 1 - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - b - b -
- - - - - - - 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - b - b - b
>= 6
a3 constraint with c3 constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 - - - - - - - - - a - a - - - - - - - - - -
- 1 1 - 1 - - - - - - 1 - - a - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 - - - - - - 1 - 1 a - a - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - b
- 1 - 1 - - - - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - b -
- - - - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - b
- - - - - - - - 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - - - b -
- - - - - - - - - 1 1 1 1 - - - - - - - - - - b - b
>= 6
twenty-eight single-square constraints
- 2 2 2 1 - 1 1 2 1 1 - - - a - - - - - - - - - - -
2 - - 1 2 1 1 1 - - - 2 - b - - - c d e - - - - f -
2 - 0 2 1 1 1 1 1 2 - - - - - g - - - - - - h - - -
2 1 2 2 2 3 2 3 - 1 2 2 2 - - - - - - - - - - - - -
1 2 1 2 3 - 1 - 3 1 2 - 2 - i - - j - - - - - - - -
- 1 1 3 - - 2 1 - 1 2 1 1 - k - - - - l - - - m n -
1 1 1 2 1 2 - - 2 2 - 1 1 - o - - - p - - - - - q -
1 1 1 3 - 1 - 2 - 2 1 2 1 - - - - - - - - - - - r -
2 - 1 - 3 - 2 - - 1 2 - 2 - - - - - - - - - - - - -
1 - 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 - - s - - - - - - - - - -
1 - - 2 2 2 - 1 2 2 - 2 1 - - - - - t - - - - - u -
- 2 - 2 - 1 1 2 - 1 2 1 - - v - - - w x y - - z A -
- - - 2 2 1 1 1 2 2 1 - 1 - - - - - - - - - - - - B
>= 28
add above four constraint sets
10 12 12 12 8 5 10 12 11 11 7 8 12 o o - o o o o o o - o - o
12 12 12 12 12 12 12 6 12 11 12 10 6 o o - - o o o o - o - o -
12 12 0 8 12 12 12 12 12 12 - 12 8 - - o - - o - o - o - - o
12 12 8 8 8 12 12 10 10 4 12 12 12 o - - - - - - - - - - o -
8 12 12 8 9 12 8 12 12 5 12 12 12 o o - - o - - - - - - - o
5 12 12 12 12 12 12 11 12 11 12 11 11 o o o - - o o o - - o o o
9 12 12 12 8 12 8 12 12 12 12 12 11 o o - - - o o o - - - o o
12 10 12 10 12 11 12 10 12 12 12 12 12 o o o - - o o o - - o o o
11 12 12 10 12 12 12 12 12 10 12 12 11 o - - - - - - - - - - - o
11 11 12 4 9 11 12 12 10 6 12 12 12 - o o - - - - - - - - o -
7 12 - 12 12 12 12 12 12 12 - 12 9 o - - - - o - o - - - o o
6 10 12 12 12 11 12 12 12 12 12 9 8 - o - o - o o o - o o o -
12 6 8 12 12 11 11 12 11 12 9 8 9 o - o - o o o o o - o - o
>= 292
divide by 12 and round
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - o o o o o o - o - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - o o o o - o - o -
1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 - - o - - o - o - o - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - - - - - - - o -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - o - - - - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - - o o o - - - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - - - - - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - o o - - - - - - - - o -
1 1 - 1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 o - - - - o - o - - - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - o - o - o o o - o o o -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - o - o o o o o - o - o
>= 25
=========================
13x13 proof Case 2B1
upper left and upper right (3,3) squares are unoccupied.
We must prove that 28 knights are required.
a8 constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 1 - 1 - 1 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 1 1 1 - 1 1 1 1 - 1 o - o - - o - o - - o - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
>= 8
seventeen single-square constraints
1 1 1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 1 a b - - - - c - - - - d e
1 1 1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 1 f g - - - - h - - - - i j
1 1 0 1 1 1 - 1 1 1 0 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - - 2 - 2 - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - k - - - - - -
- 1 - - 2 - 1 - 2 - - 1 - - l - - - - m - - - - n -
- - - 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - o - - - - - -
1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - - 1 - 1 - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - 1 - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - 1 - - p - - - - - - - - - q -
- - - 1 - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 17
add above two constraint sets
1 1 1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 1 o o - - - - o - - - - o o
1 1 1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 1 o o - - - - o - - - - o o
1 1 0 1 1 1 - 1 1 1 0 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - - 2 - 2 - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - o - - - - - -
- 1 - - 2 - 1 - 2 - - 1 - - o - - - - o - - - - o -
- - - 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - o - - - - - -
1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 - 1 1 1 1 1 1 o o o - - o - o - - o o o
1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
>= 25
multiply by 2
2 2 2 2 2 - 2 - 2 2 2 2 2 o o - - - - o - - - - o o
2 2 2 2 2 - 2 - 2 2 2 2 2 o o - - - - o - - - - o o
2 2 0 2 2 2 - 2 2 2 0 2 2 - - - - - - - - - - - - -
2 2 2 - - 4 - 4 - - 2 2 2 - - - - - - - - - - - - -
2 - 2 - 2 2 - 2 2 - 2 - 2 - - - - - - - - - - - - -
- - - 2 2 2 2 2 2 2 - - - - - - - - - o - - - - - -
- 2 - - 4 - 2 - 4 - - 2 - - o - - - - o - - - - o -
- - - 2 2 2 2 2 2 2 - - - - - - - - - o - - - - - -
2 - 2 - 2 2 - 2 2 - 2 - 2 - - - - - - - - - - - - -
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - - - - - - - - - - - - -
2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 - - - - - - - - - - - - -
2 2 2 2 2 2 - 2 2 2 2 2 2 o o o - - o - o - - o o o
2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 o o o - - o o o - - o o o
>= 50
two b4 constraints and two 3-in-a-row constraints
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- 1 1 - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 a - - - - - - - - - - - b
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 c - - - - - - - - - - - d
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 a - - - - - - - - - - - b
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 c - - - - - - - - - - - d
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 a - - - - - - - - - - - b
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 c - - - - - - - - - - - d
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 a - - - - - - - - - - - b
>= 12
twenty-seven single-square constraints
- 1 1 2 - 3 - 3 - 2 1 1 - - a - b - c - d - e - f -
1 2 - 2 1 3 - 3 1 2 - 2 1 g - - - - h - i - - - - j
1 - 0 1 2 1 3 1 2 1 0 - 1 - - - - - - k - - - - - -
2 1 1 - 3 - 4 - 3 - 1 1 2 l - - - - - - - - - - - m
- 2 1 3 1 2 2 2 1 3 1 2 - - - - - - - - - - - - - -
2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 - n - - - o - p - - - q -
1 - 1 4 - 3 - 3 - 4 1 - 1 r - s - - t - u - - v - w
2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 - x - - - y - z - - - A -
- 2 - 3 1 1 2 1 1 3 - 2 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 2 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 27
add above three constraint sets
3 4 3 4 2 3 2 3 2 4 3 4 3 o o - o - o o o - o - o o
3 4 3 4 3 3 2 3 3 4 3 4 3 o o - - - o o o - - - o o
4 3 0 3 4 3 3 3 4 3 0 3 4 o - - - - - o - - - - - o
4 3 4 - 3 4 4 4 3 - 4 3 4 o - - - - - - - - - - - o
3 3 3 3 3 4 2 4 3 3 3 3 3 o - - - - - - - - - - - o
2 3 3 3 4 4 4 4 4 3 3 3 2 - o - - - o o o - - - o -
2 3 2 4 4 3 2 3 4 4 2 3 2 o o o - - o o o - - o o o
3 2 3 3 4 4 4 4 4 3 3 2 3 o o - - - o o o - - - o o
3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 o - - - - - - - - - - - o
4 3 4 2 3 2 4 2 3 2 4 3 4 o - - - - - - - - - - - o
3 3 3 4 2 2 2 2 2 4 3 3 3 o - - - - - - - - - - - o
3 3 3 2 2 2 - 2 2 2 3 3 3 o o o - - o - o - - o o o
3 3 3 4 2 2 2 2 2 4 3 3 3 o o o - - o o o - - o o o
>= 89
multiply by 2
6 8 6 8 4 6 4 6 4 8 6 8 6 o o - o - o o o - o - o o
6 8 6 8 6 6 4 6 6 8 6 8 6 o o - - - o o o - - - o o
8 6 0 6 8 6 6 6 8 6 0 6 8 o - - - - - o - - - - - o
8 6 8 - 6 8 8 8 6 - 8 6 8 o - - - - - - - - - - - o
6 6 6 6 6 8 4 8 6 6 6 6 6 o - - - - - - - - - - - o
4 6 6 6 8 8 8 8 8 6 6 6 4 - o - - - o o o - - - o -
4 6 4 8 8 6 4 6 8 8 4 6 4 o o o - - o o o - - o o o
6 4 6 6 8 8 8 8 8 6 6 4 6 o o - - - o o o - - - o o
6 6 6 6 6 6 4 6 6 6 6 6 6 o - - - - - - - - - - - o
8 6 8 4 6 4 8 4 6 4 8 6 8 o - - - - - - - - - - - o
6 6 6 8 4 4 4 4 4 8 6 6 6 o - - - - - - - - - - - o
6 6 6 4 4 4 - 4 4 4 6 6 6 o o o - - o - o - - o o o
6 6 6 8 4 4 4 4 4 8 6 6 6 o o o - - o o o - - o o o
>= 178
d3 constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - o o - - - - -
- - - - 1 1 1 - 1 1 - - - - - - - - - o - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - o o - - - - -
>= 3
d3 constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - 1 1 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - o o - - - - - -
- - - 1 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - - o - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - o o - - - - - -
>= 3
two a5 constraints and two 3-in-a-row constraints
1 - 1 - 1 - - - 1 - 1 - 1 c - c - c - - - d - d - d
1 - 1 - 1 - 2 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 - - - - - 1 1 1 1 a - - - - - - - - - - - b
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 a a - - - - - - - - - b b
1 1 1 1 - - - - - 1 1 1 1 a - - - - - - - - - - - b
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 a - - - - - - - - - - - b
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 a - - - - - - - - - - - b
1 1 1 1 - - - - - 1 1 1 1 a - - - - - - - - - - - b
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 a a - - - - - - - - - b b
>= 14
twenty-five single-square constraints
1 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 1 a b - - - - - - - - - c d
1 - 1 1 1 - 1 - 1 1 1 - 1 e - - - - - f - - - - - g
1 1 0 - 1 - 1 - 1 - 0 1 1 - - - - - - h - - - - - -
- 2 - - 1 1 - 1 1 - - 2 - - - - - - - - - - - - - -
1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 - - - - - - - - - - - - -
2 - 1 2 1 1 - 1 1 2 1 - 2 i - - - - - - - - - - - j
1 1 2 - - 1 - 1 - - 2 1 1 k l m - - n - o - - p q r
1 1 1 2 1 1 - 1 1 2 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 2 1 1 1 - 2 - 1 1 1 2 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - 2 1 1 1 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
- - 1 2 1 - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - s - - - - - -
1 1 - - 1 1 1 - 1 - - 1 1 t u - - - v w - - - - x y
>= 25
add above five constraint sets
8 9 8 8 6 7 4 7 6 8 8 9 8 o o o o o o o o o o o o o
8 8 8 9 8 6 7 6 8 9 8 8 8 o o - - - o o o - - - o o
9 8 0 7 9 7 7 7 9 7 0 8 9 o - - - - - o - - - - - o
8 8 8 - 7 9 8 9 7 - 8 8 8 o - - - - - - - - - - - o
7 9 8 7 7 9 6 9 7 7 8 9 7 o - - - - - - - - - - - o
7 7 8 8 9 9 8 9 9 8 8 7 7 o o - - - o o o - - - o o
6 8 7 9 8 7 4 7 8 9 7 8 6 o o o - - o o o - - o o o
8 6 8 8 9 9 8 9 9 8 8 6 8 o o - - - o o o - - - o o
8 9 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 8 o - - - - - - - - - - - o
9 7 9 5 8 7 8 7 8 5 9 7 9 o - - - - - - - - - - - o
8 8 8 8 8 7 7 7 7 8 8 8 8 o - - - - o o o - - - - o
7 7 8 8 7 5 3 6 7 7 8 7 7 o o o - - o o o - - o o o
8 8 7 8 7 7 7 6 7 8 7 8 8 o o o - - o o o - - o o o
>= 223
multiply by 2
16 18 16 16 12 14 8 14 12 16 16 18 16 o o o o o o o o o o o o o
16 16 16 18 16 12 14 12 16 18 16 16 16 o o - - - o o o - - - o o
18 16 0 14 18 14 14 14 18 14 0 16 18 o - - - - - o - - - - - o
16 16 16 - 14 18 16 18 14 - 16 16 16 o - - - - - - - - - - - o
14 18 16 14 14 18 12 18 14 14 16 18 14 o - - - - - - - - - - - o
14 14 16 16 18 18 16 18 18 16 16 14 14 o o - - - o o o - - - o o
12 16 14 18 16 14 8 14 16 18 14 16 12 o o o - - o o o - - o o o
16 12 16 16 18 18 16 18 18 16 16 12 16 o o - - - o o o - - - o o
16 18 16 16 16 16 16 16 16 16 16 18 16 o - - - - - - - - - - - o
18 14 18 10 16 14 16 14 16 10 18 14 18 o - - - - - - - - - - - o
16 16 16 16 16 14 14 14 14 16 16 16 16 o - - - - o o o - - - - o
14 14 16 16 14 10 6 12 14 14 16 14 14 o o o - - o o o - - o o o
16 16 14 16 14 14 14 12 14 16 14 16 16 o o o - - o o o - - o o o
>= 446
small triangle constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - o - - - - - -
- - - - 1 1 - 1 1 - - - - - - - - - o - o - - - - -
>= 2
two a3 constraints and three 3-in-a-row constraints
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 - - - - - 1 1 1 1 a - a - - - - - - - b - b
1 1 1 - 1 - - - 1 - 1 1 1 - a - - - - - - - - - b -
1 1 1 1 - - - - - 1 1 1 1 a - a - - - - - - - b - b
1 - 1 - 1 - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 1 2 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - 1 1 1 1 1 1 c - c - c - - d e d e d e
>= 12
two 3-in-a-row constraints and a b3 constraint
1 - 1 - 1 - - - 1 - 1 - 1 a - a - a - - - b - b - b
1 - 1 - 1 - 2 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 - - - - - - - c - - - - -
- - - - - 1 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - c - c - c - c
>= 7
two b3 constraints
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 - - - - - - - - a b - - - - - -
1 1 1 2 2 1 1 2 - - - - - a b a b a b a b - - - - -
>= 6
twenty-one single-square constraints
- - 1 2 1 1 1 1 1 2 1 - - - - - - a - b - c - - - -
1 2 1 - 1 1 2 1 1 - 1 2 1 d e - - - f - g - - - h i
- 1 0 3 - 3 - 3 - 3 0 1 - - - - - - - - - - - - - -
2 1 2 - 1 - 2 - 1 - 2 1 2 j - - - - - - - - - - - k
1 - 1 - - - - - - - 1 - 1 l - - - - - - - - - - - m
- 3 1 1 - - - - - 1 1 3 - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - 1 - - - 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - - 1 - 1 n - o - - - - - - - p - q
1 - 1 - 1 - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 3 - 1 - - - - - 1 - 3 - - - - - - - - - - - - - -
- - 1 - - 1 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 - - - 1 1 - - 1 1 - - 1 r - - - - - - - - - - - s
- - 1 - - - 1 1 - - 1 - - - - - - - - t u - - - - -
>= 21
add above six constraint sets
17 18 18 18 14 15 9 15 14 18 18 18 17 o o o o o o o o o o o o o
18 18 18 18 18 13 18 13 18 18 18 18 18 o o - - - o o o - - - o o
18 18 0 18 18 18 14 18 18 18 0 18 18 o - - - - - o - - - - - o
18 18 18 1 15 18 18 18 15 1 18 18 18 o - - - - - - - - - - - o
16 18 18 14 15 18 12 18 15 14 18 18 16 o - - - - - - - - - - - o
15 18 18 18 18 18 16 18 18 18 18 18 15 o o o - - o o o - - o o o
14 18 16 18 18 14 8 14 18 18 16 18 14 o o o - - o o o - - o o o
18 13 18 17 18 18 16 18 18 17 18 13 18 o o o - - o o o - - o o o
18 18 18 16 18 16 16 16 18 16 18 18 18 o - - - - - - - - - - - o
18 18 18 12 17 16 18 16 17 12 18 18 18 o - - - - - - - - - - - o
17 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 17 o - - - - o o o - - - - o
17 15 18 18 18 15 12 16 18 18 18 15 17 o o o - - o o o - - o o o
18 17 17 18 18 17 17 17 17 18 17 17 18 o o o o o o o o o o o o o
>= 494
divide by 18 and round
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o o o o o o o o o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - - o o o - - - o o
1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 o - - - - - o - - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - - - - - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - - - - - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - - - - - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - - - - - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - o o o - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o o o o o o o o o o o
>= 28
=========================
13x13 proof case 2B2
upper left and lower right (3,3) squares are unoccupied.
We must prove that 28 knights are required.
four single-square constraints
multiplied by 2
- 2 2 - - - - - - - - - - - a - - - - - - - - - - -
2 - - 2 - - - - - - - - - b - - - - - - - - - - - -
2 - 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - 0 - 2 - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - 2 - - 2 - - - - - - - - - - - - c
- - - - - - - - - - 2 2 - - - - - - - - - - - - d -
>= 8
twenty-four single-square constraints
1 - - 1 1 - 1 1 1 1 1 1 1 a - - - - - b c - - - d e
- 1 1 - 1 1 1 - 1 2 1 1 1 - f - - - - g - - - - h i
- 1 - 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - - 1 - 1 - - 1 2 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - - - - - - - 2 1 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 1 1 - - - - - 1 1 - 1 - - - - - - - - - - - - j
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 k l - - - - - - - - - m n
1 - 1 1 - - - - - 1 1 1 - o - - - - - - - - - - - -
1 1 2 - - - - - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 2 1 - - 1 - 1 - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 2 1 - 1 1 1 - 1 1 - p q - - - - r - - - - s -
1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 - - 1 t u - - - v w - - - - - x
>= 24
add above two constraint sets
1 2 2 1 1 - 1 1 1 1 1 1 1 o o - - - - o o - - - o o
2 1 1 2 1 1 1 - 1 2 1 1 1 o o - - - - o - - - - o o
2 1 0 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 2 1 - - 1 - 1 - - 1 2 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - - - - - - - 2 1 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 1 1 - - - - - 1 1 - 1 - - - - - - - - - - - - o
1 1 1 - - - - - - - 1 1 1 o o - - - - - - - - - o o
1 - 1 1 - - - - - 1 1 1 - o - - - - - - - - - - - -
1 1 2 - - - - - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 2 1 - - 1 - 1 - - 1 2 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1 2 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 2 1 - 1 1 1 2 1 1 2 o o - - - - o - - - - o o
1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 2 2 1 o o - - - o o - - - - o o
>= 32
multiply by 2
2 4 4 2 2 - 2 2 2 2 2 2 2 o o - - - - o o - - - o o
4 2 2 4 2 2 2 - 2 4 2 2 2 o o - - - - o - - - - o o
4 2 0 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 - - - - - - - - - - - - -
2 4 2 - - 2 - 2 - - 2 4 2 - - - - - - - - - - - - -
2 2 2 - - - - - - - 4 2 2 - - - - - - - - - - - - -
- 2 2 2 - - - - - 2 2 - 2 - - - - - - - - - - - - o
2 2 2 - - - - - - - 2 2 2 o o - - - - - - - - - o o
2 - 2 2 - - - - - 2 2 2 - o - - - - - - - - - - - -
2 2 4 - - - - - - - 2 2 2 - - - - - - - - - - - - -
2 4 2 - - 2 - 2 - - 2 4 2 - - - - - - - - - - - - -
2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 0 2 4 - - - - - - - - - - - - -
2 2 2 4 2 - 2 2 2 4 2 2 4 o o - - - - o - - - - o o
2 2 2 2 2 2 2 - 2 2 4 4 2 o o - - - o o - - - - o o
>= 64
two b4 constraints
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 a - a - a - a - a - a - a
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 b - b - b - b - b - b - b
>= 8
two b4 constraints
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
>= 8
seven a3 constraints
- - - - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - a - a - - b - b
- - - 1 - 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - a - - - - b -
- - - - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - a - a - - b - b
- 1 - 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c - c - - d - d - - e - e
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - c - - - - d - - - - e -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c - c - - d - d - - e - e
1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - f - f - - g - g - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 - 1 - - - - f - - - - g - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - f - f - - g - g - - - - -
>= 21
twenty-five single-square constraints
- - - 3 - 1 - 2 - 1 - - - - - - a - - - - - - - - -
- 3 - - 1 2 - - 1 - - 1 - - b - - - c - - - - - d -
- - 0 2 1 - 1 1 - 1 - - - - - - - - - e - - - - - -
3 - 2 - 3 1 3 1 2 - 1 - 1 f - - - - - - - - - - - -
- 1 1 3 2 3 2 3 2 2 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 2 - 1 3 3 3 3 3 1 1 - 2 - g - - - h i j - - - - -
- - 1 3 2 3 1 3 2 3 1 - - - - k - - l m n - - o - -
2 - 1 1 3 3 3 3 3 1 - 2 1 - - - - - p q r - - - s -
- 1 - 2 2 3 2 3 2 3 1 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 2 1 3 1 3 - 2 - 2 - - - - - - - - - - - - t
- - - 1 - 1 1 - 1 2 0 - - - - - - - - u - - - - - -
- 1 - - 1 - - 2 1 - - 3 - - v - - - - - w - - - x -
- - - 1 - 2 - 1 - 2 - - - - - - - - - - - - y - - -
>= 25
add above five constraint sets
4 5 5 5 4 2 4 5 4 4 4 4 5 o o o o o o o o o - o o o
5 5 4 5 4 5 4 1 5 5 5 4 4 o o - - - o o - - - - o o
5 4 0 5 4 4 4 5 5 5 5 5 4 o - - - - o o o - - o - o
5 5 5 2 4 4 4 4 4 2 5 5 4 o - - - - - - - - - - - -
4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 5 5 4 o - - - - - - - - - - - o
2 5 4 4 4 4 4 4 4 4 5 1 5 o o o - - o o o - - o - o
4 4 4 4 3 4 2 4 3 4 4 4 4 o o o - - o o o - - o o o
5 1 5 4 4 4 4 4 4 4 4 5 2 o - o - - o o o - - o o o
4 5 5 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 o - - - - - - - - - - - o
4 5 5 2 4 4 4 4 4 2 5 5 4 - - - - - - - - - - - - o
4 5 5 5 5 5 4 4 4 5 0 4 5 o - o - - o o o - - - - o
4 4 5 5 5 1 4 5 4 5 4 5 5 o o - - - - o o - - - o o
5 4 4 4 4 5 4 2 4 4 5 5 4 o o o - o o o o o o o o o
>= 126
multiply by 2
8 10 10 10 8 4 8 10 8 8 8 8 10 o o o o o o o o o - o o o
10 10 8 10 8 10 8 2 10 10 10 8 8 o o - - - o o - - - - o o
10 8 0 10 8 8 8 10 10 10 10 10 8 o - - - - o o o - - o - o
10 10 10 4 8 8 8 8 8 4 10 10 8 o - - - - - - - - - - - -
8 8 8 8 8 8 6 8 8 8 10 10 8 o - - - - - - - - - - - o
4 10 8 8 8 8 8 8 8 8 10 2 10 o o o - - o o o - - o - o
8 8 8 8 6 8 4 8 6 8 8 8 8 o o o - - o o o - - o o o
10 2 10 8 8 8 8 8 8 8 8 10 4 o - o - - o o o - - o o o
8 10 10 8 8 8 6 8 8 8 8 8 8 o - - - - - - - - - - - o
8 10 10 4 8 8 8 8 8 4 10 10 8 - - - - - - - - - - - - o
8 10 10 10 10 10 8 8 8 10 0 8 10 o - o - - o o o - - - - o
8 8 10 10 10 2 8 10 8 10 8 10 10 o o - - - - o o - - - o o
10 8 8 8 8 10 8 4 8 8 10 10 8 o o o - o o o o o o o o o
>= 252
two b4 constraints
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 a - a - a - a - a - a - a
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 b - b - b - b - b - b - b
>= 8
two b4 constraints
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - - - b
>= 8
five a3 constraints
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - a - a - - - - -
- - - 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - a - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - a - a - - - - -
- 1 - 2 1 1 1 1 1 2 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 1 2 1 1 1 2 1 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b - b - - c - c - - d - d
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - b - - - - c - - - - d -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b - b - - c - c - - d - d
1 - 1 1 2 1 1 1 2 1 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 2 1 1 1 1 1 2 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - e - e - - - - -
- - - 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - e - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - e - e - - - - -
>= 15
forty-five single-square constraints
1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 - a - - b c d - - - - - e -
1 2 2 1 3 1 2 2 1 1 - - 1 - - - - f - g h - - - - i
1 2 0 1 3 2 3 - 1 1 2 - 1 - - j - - - k - - - - - -
2 1 1 1 3 3 3 2 3 - 1 1 1 l - - - - - - - - - - - -
2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 m n - - - - - - - - - - -
3 1 2 3 3 3 3 3 3 2 - 2 - o - - - - p q r - - - s -
1 2 3 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 - t u - - v w x - - y z -
1 2 - 2 3 3 3 3 3 3 2 1 3 - A - - - B C D - - - - E
1 1 1 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 - - - - - - - - - - - F G
1 1 1 - 3 2 3 3 3 2 1 1 2 - - - - - - - - - - - - H
1 - 2 1 1 - 3 2 3 1 0 2 1 - - - - - - I - - - J - -
1 - - 1 1 1 2 1 3 1 2 2 1 K - - - - L M - N - - - -
- 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 - O - - - - - P Q R - - S
>= 45
add above five constraint sets
11 12 12 12 12 8 11 12 11 9 10 10 12 o o o o o o o o o - o o o
12 12 12 12 12 12 12 5 12 12 12 8 10 o o - - o o o o - - - o o
12 12 0 12 12 12 12 12 12 12 12 12 10 o - o - - o o o - - o - o
12 12 12 7 12 12 12 11 12 6 12 12 9 o - - - - - - - - - - - -
12 12 12 12 12 12 9 12 12 12 12 12 11 o o - - - - - - - - - - o
8 12 12 12 12 12 12 12 12 11 12 5 11 o o o - - o o o - - o o o
11 12 12 12 9 12 6 12 9 12 12 12 11 o o o - - o o o - - o o o
12 5 12 11 12 12 12 12 12 12 12 12 8 o o o - - o o o - - o o o
11 12 12 12 12 12 9 12 12 12 12 11 12 o - - - - - - - - - - o o
9 12 12 6 12 11 12 12 12 8 12 12 10 - - - - - - - - - - - - o
10 12 12 12 12 12 12 12 12 12 0 12 12 o - o - - o o o - - o - o
10 8 12 12 12 4 12 12 12 12 12 12 12 o o - - - o o o o - - o o
12 10 10 9 11 12 11 7 12 10 12 12 11 o o o - o o o o o o o o o
>= 328
divide by 12 and round
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o o o o o o o - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - o o o o - - - o o
1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - o - - o o o - - o - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - - - - - - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - - - - - - - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 o - o - - o o o - - o - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - - o o o o - - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - o o o o o o o o o
>= 28
=========================
Constraint derivations for configurations used in the proofs.
The first group are all constraints consisting of
three-square configurations.
It is easy to see that one knight can't cover all three squares
of a configuration, so it takes at least two knights.
These constraints are valid anywhere on the board.
=========================
3-in-a-row constraint
- 1 - 1 - - - - - -
1 - - - 1 - - - - -
- 1 1 1 - - - o - -
1 - - - 1 - - - - -
- 1 1 1 - - - o - -
1 - - - 1 - - - - -
- 1 1 1 - - - o - -
1 - - - 1 - - - - -
- 1 - 1 - - - - - -
>= 2
=========================
curve constraint
- 1 - 1 - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - - - -
- 1 1 - - 1 - - - o - - - -
1 - - 1 1 - - - - - o - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - -
- - 1 - 1 - 1 - - - - - - -
- - - - 1 - - - - - - o - -
- - 1 - - - 1 - - - - - - -
- - - 1 - 1 - - - - - - - -
>= 2
=========================
large triangle constraint
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - -
- - 1 - 1 - - - - o - o - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - -
- - - 1 - - - - - - o - - -
- 1 - - - 1 - - - - - - - -
- - 1 - 1 - - - - - - - - -
>= 2
=========================
small triangle constraint
- 1 - 1 - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - -
- 1 1 1 - 1 - - o - - -
1 - - 1 1 - - - - o - -
- 1 1 1 - 1 - - o - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - -
- 1 - 1 - - - - - - - -
>= 2
=========================
Derivations of constraints that take 3 or more knights.
=========================
a3 constraint derivation
five single-square constraints
- 1 - 2 - 1 - - - - - - - -
1 - 2 - 2 - 1 - - - - - - -
- 2 1 2 1 2 - - - a - b - -
2 - 2 1 2 - 2 - - - c - - -
- 2 1 2 1 2 - - - d - e - -
1 - 2 - 2 - 1 - - - - - - -
- 1 - 2 - 1 - - - - - - - -
>= 5
divide by 2 and round
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - -
- 1 1 1 1 1 - - - o - o - -
1 - 1 1 1 - 1 - - - o - - -
- 1 1 1 1 1 - - - o - o - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - -
>= 3
=========================
b3 constraint derivation
3-in-a-row constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - 1 - 1 - 1 - - - - - - o - o - o - - - -
>= 2
three single-square constraints
- - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 2 - - - - - - - - - - - -
1 - - - 1 - 1 1 - - 1 - - - - - - - b - - -
- - 1 - - 1 - - 1 1 - - - a - - - - - c - -
>= 3
add above two constraints
- - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - - - - - - - - - - - -
2 - 1 - 2 - 2 1 1 - 1 - - - - - - - o - - -
- - 2 - 1 1 1 - 1 1 - - - o - o - o - o - -
>= 5
divide by 2 and round
- - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - o - - -
- - 1 - 1 1 1 - 1 1 - - - o - o - o - o - -
>= 3
=========================
c3 constraint derivation
3-in-a-row constraint
1 - 1 - 1 - - - o - o - o - - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
>= 2
small triangle constraint
- 1 1 1 - 1 - - - - o - - - - -
1 1 - 1 1 - - - - o - o - - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
>= 2
single-square constraint
- 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - - - - - - - o - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
>= 1
add above three constraints
1 2 2 1 1 1 - - o - o - o - - -
2 1 2 1 2 - 1 - - o - o - - - -
1 2 - 2 - 2 - - o - - - - - - -
1 - 2 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
>= 5
divide by 2 and round
1 1 1 1 1 1 - - o - o - o - - -
1 1 1 1 1 - 1 - - o - o - - - -
1 1 - 1 - 1 - - o - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
>= 3
=========================
d3 constraint derivation
five single-square constraints
- 1 1 2 1 1 - - - - - - - -
1 2 1 2 1 2 1 - - - - - - -
1 - 2 1 2 - 1 - - a b c - -
1 1 2 - 2 1 1 - - d - e - -
1 1 2 2 2 1 1 - - - - - - -
- 1 - 2 - 1 - - - - - - - -
>= 5
divide by 2 and round
- 1 1 1 1 1 - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - -
1 - 1 1 1 - 1 - - o o o - -
1 1 1 - 1 1 1 - - o - o - -
1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - -
>= 3
=========================
a4 constraint derivation
three single-square constraints
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 2 - 1 - 2 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - - 1 2 - - - 1 - - - - - - - b - - - - -
- - - - - 1 1 - - 1 1 - - - - - - - - a - - - c - -
>= 3
divide by 2 and round
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - - 1 1 - - - 1 - - - - - - - o - - - - -
- - - - - 1 1 - - 1 1 - - - - - - - - o - - - o - -
>= 2
3-in-a-row constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - - - o - o - o - - - - - - - -
>= 2
three single-square constraints
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - 1 - - 1 - - 1 - - - 1 - - - - - b - - - - - - -
1 - - 1 - - - 1 - - 1 - - a - - - - - - - - - c - -
>= 3
add above three constraints
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 2 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 2 - 2 1 1 1 2 - - - 2 - - - - - o - o - - - - -
2 - 1 1 1 1 1 1 - 1 2 - - o - o - o - o - - - o - -
>= 7
divide by 2 and round
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 1 1 1 1 - - - 1 - - - - - o - o - - - - -
1 - 1 1 1 1 1 1 - 1 1 - - o - o - o - o - - - o - -
>= 4
=========================
b4 constraint derivation
seven single-square constraints
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 a - b - c - d - e - f - g
1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 7
divide by 2 and round
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 o - o - o - o - o - o - o
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 4
=========================
a5 constraint derivation
b3 constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - o - - - - - - -
1 - 1 1 1 - 1 1 - - - - - o - o - o - o - - - - - -
>= 3
3-in-a-row constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - - o - o - o - - - - - - -
>= 2
four single-square constraints
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 1 - 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 1 1 - - 1 1 - - - - a - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - 1 1 - - - - - - b - - - - c d - - - - - -
>= 4
add above three constraint sets
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 2 2 1 2 2 2 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2 1 2 2 2 2 1 2 2 - - - - o - - - - o - - - - - - -
2 2 1 2 1 2 2 1 - - - - - o o o o o o o - - - - - -
>= 9
divide by 2 and round
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - o - - - - o - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - o o o o o o o - - - - - -
>= 5
=========================
a8 constraint derivation
fifteen single-square constraints
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 2 - 1 1 - 2 - 1 1 - 2 - - - - - - - - - - - - - -
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - - - - - - - - - - - - -
2 - 2 2 2 2 - 2 2 2 2 - 2 a - b - - c - d - - e - f
2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 g h i - - j k l - - m n o
>= 15
divide by 2 and round
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 1 - 1 - 1 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 1 1 1 - 1 1 1 1 - 1 o - o - - o - o - - o - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o o - - o o o
>= 8