11x11
KNIGHT COVERING
OPTIMALITY PROOF
21 knights are required to cover an 11x11 board.
The proof is divided into cases.
Case 1: there does not exist an unoccupied (3,3) square.
Case 2: there exists an unoccupied (3,3) square.
Case 2 is subdivided based on the status of the
other three (3,3) squares.
Case 2A: there exists exactly one unoccupied (3,3) square.
Case 2B: there exists at least two unoccupied (3,3) squares.
Case 2B is further subdivided for the two choices
Case 2B1: the upper left and upper right (3,3) squares
are unoccupied.
Case 2B2: the upper left and lower right (3,3) squares
are unoccupied.
Cases 1, 2A, 2B1, and 2B2 are proved below.
=========================
See the Divide and Round Proof Technique
for an explanation of the following notation and reasoning.
=========================
11x11 proof case 1
There does not exist an unoccupied (3,3) square.
This means that all four (3,3) squares are occupied.
So to prove that a total of 21 knights are required,
we need to prove that it takes 17 more knights to cover
the remaining squares.
two b5 constraints
1 1 - - - - 1 1 1 1 1 a - - - - - b - b - b
- - 1 - 1 - 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - b -
1 1 - - - 1 - 1 - 1 1 a - - - - - - - - - b
1 - 1 - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - - - 1 - 1 1 a - - - - - - - - - b
- 1 1 - - - - - 1 1 - - a - - - - - - - b -
1 1 - 1 - - - 1 - 1 1 a - - - - - - - - - b
1 - 1 - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - 1 - - - 1 1 a - - - - - - - - - b
1 1 1 - 1 - 1 - 1 - - - a - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 - - - - 1 1 a - a - a - - - - - b
>= 10
another two b5 constraints
1 - 1 1 1 - 1 1 1 1 1 a - a - a - a - a - a
1 - 1 - 1 1 1 - 1 1 1 - - - - - a - - - a -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - a
- - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - a
- - 1 - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - 1 - b - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - b - - - - - - - - - -
1 1 1 - 1 1 1 - 1 - 1 - b - - - b - - - - -
1 1 1 1 1 - 1 1 1 - 1 b - b - b - b - b - b
>= 10
three single-square constraints
- - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - a - - - - - - - - -
- - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 1 - - - - - - - - - - o - - - - -
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - b -
- - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
>= 3
add above three constraints
2 1 1 2 1 - 2 2 2 2 2 o - o - o - o - o - o
1 1 2 - 2 1 2 - 2 2 2 - o - - - o - - - o -
1 2 - 2 - 2 - 2 - 2 2 o - - - - - - - - - o
2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - - - - - - - - - - -
1 2 - 2 - - - 2 - 2 2 o - - - - - - - - - o
- 1 2 - - 1 - - 2 1 - - o - - - o - - - o -
2 2 - 2 - - - 2 - 2 1 o - - - - - - - - - o
2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - - - - - - - - - - -
2 2 - 2 - 2 - 2 - 2 1 o - - - - - - - - - o
2 2 2 - 2 1 2 - 2 1 1 - o - - - o - - - o -
2 2 2 2 2 - 1 2 1 1 2 o - o - o - o - o - o
>= 23
divide by 2 and round
1 1 1 1 1 - 1 1 1 1 1 o - o - o - o - o - o
1 1 1 - 1 1 1 - 1 1 1 - o - - - o - - - o -
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - - - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
- 1 1 - - 1 - - 1 1 - - o - - - o - - - o -
1 1 - 1 - - - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
1 1 1 - 1 1 1 - 1 1 1 - o - - - o - - - o -
1 1 1 1 1 - 1 1 1 1 1 o - o - o - o - o - o
>= 12
two a6 constraints
1 1 1 1 1 1 1 - - - - a - a - a a - - - - -
1 1 1 1 1 - 1 1 - - - - a - - - - - - - - -
1 1 - 1 1 1 1 - - - - a - - - - a - - - - -
1 1 1 1 - 2 - 2 - 1 - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - 2 1 2 - 1 1 1 a - - - - a - - - - -
1 - 1 2 1 - 1 2 1 - 1 a - a - a - b - b - b
1 1 1 - 2 1 2 - 1 1 1 - - - - - b - - - - b
- 1 - 2 - 2 - 1 1 1 1 - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 1 - 1 1 - - - - - b - - - - b
- - - 1 1 - 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - b -
- - - - 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - b b - b - b
>= 12
nine single-square constraints
- - - - - 1 - 1 - - 1 - - - - - a - - - - b
- - - 1 - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - c -
- - - - 1 - 1 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
- 1 - - 1 - 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - - -
- - 1 1 - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - - - - 1 - - - - 1 d - - - - o - - - - e
- - 1 1 - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - 1 - 1 - - 1 - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 1 1 - - - 1 - - - - f - - - - - - - - -
1 - - 1 - 1 - - - - - g - - - - h - - - - -
>= 9
add above three constraints
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 o - o - o o o - o - o
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 - o - - - o - - - o -
2 2 - 2 2 2 2 2 - 2 1 o - - - - o - - - - o
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 - - - - - - - - - - -
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 o - - - - - - - - - o
2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 o o o - - o - - o o o
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 o - - - - - - - - - o
2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 - - - - - - - - - - -
1 2 - 2 2 2 2 2 - 2 2 o - - - - o - - - - o
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 - o - - - o - - - o -
2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 o - o - o o o - o - o
>= 33
divide by 2 and round
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - o - o o o - o - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - o - - - o - - - o -
1 1 - 1 1 1 1 1 - 1 1 o - - - - o - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - o - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - o o o - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - o - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 1 1 1 1 - 1 1 o - - - - o - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - o - - - o - - - o -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - o - o o o - o - o
>= 17
=========================
11x11 proof case 2A
There exists exactly one unoccupied (3,3) square.
Whichever (3,3) is unoccupied, we can rotate and reflect
the board to make that square in the upper left corner.
The upper left (3,3) square forbidden to be occupied
and the other three (3,3) squares are occupied.
So to prove that a total of 21 knights are required,
we need to prove that it takes 18 more knights to cover
the remaining squares.
seventeen single-square constraints
1 - - - 1 - - 1 1 1 2 a - - - b - - - - - c
- - 2 - - - 1 1 2 1 - - - - - - - - - - d -
- 2 - 1 - 1 - 1 - 2 1 - - - - - - - - - e f
- - 1 - - 1 - 3 2 1 1 - - - - - - - - - - -
1 - - - 2 - 2 - 2 1 2 g - - - - - - - - - -
- - 1 1 - - 1 2 1 1 - - - - - - - h - i - -
- 1 - - 2 1 4 - 2 - 2 - - - - - j - - - - -
1 1 1 3 - 2 - 4 1 2 - - - - - - - - - k - -
1 2 - 2 2 1 2 1 - - 1 - - - - - l - m - - -
1 1 2 1 1 1 - 2 - 2 - - n o - - - - - - - -
2 - 1 1 2 - 2 - 1 - - p - q - - - - - - - -
>= 17
b6 constraint
- - - - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - o - o - o
- - - - 1 - 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - o -
- - - - - 1 - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - o -
- - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - 1 - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - 1 - 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - o -
- - - - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - o - o - o
>= 6
another b6 constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - 1 1 o - - - - - - - - - o
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
1 1 1 - 1 1 1 - 1 1 1 - o - - - o - - - o -
1 1 1 1 1 - 1 1 1 - 1 o - o - o - o - o - o
>= 6
a4 constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 - - - - - o - - - - -
1 - 1 1 1 - 1 1 1 - 1 o - o - o - o - o - o
>= 4
another a4 constraint
- - - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - o -
- - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - o
>= 4
add above five constraints
1 - - - 1 - 1 2 2 3 4 o - - - o - o - o - o
- - 2 - 1 - 2 1 4 2 1 - - - - - - - - - o -
- 2 - 1 - 2 - 2 - 4 3 - - - - - - - - - o o
- - 1 - - 1 - 3 4 1 3 - - - - - - - - - - -
1 1 - - 2 - 2 2 2 4 4 o - - - - - - - - - o
- - 2 1 - - 1 2 4 3 - - - - - - - o - o o -
1 2 - - 2 1 4 2 2 3 5 o - - - - o - - - - o
2 1 2 3 2 2 2 4 4 2 3 - - - - - - - - o - -
2 4 - 4 2 4 2 4 - 4 4 o - - - - o - o - - o
3 2 4 1 4 3 3 2 4 4 3 - o o - - o - - - o -
4 1 3 3 4 - 5 3 4 2 4 o - o - o - o - o - o
>= 37
divide by 2 and round
1 - - - 1 - 1 1 1 2 2 o - - - o - o - o - o
- - 1 - 1 - 1 1 2 1 1 - - - - - - - - - o -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 2 2 - - - - - - - - - o o
- - 1 - - 1 - 2 2 1 2 - - - - - - - - - - -
1 1 - - 1 - 1 1 1 2 2 o - - - - - - - - - o
- - 1 1 - - 1 1 2 2 - - - - - - - o - o o -
1 1 - - 1 1 2 1 1 2 3 o - - - - o - - - - o
1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 - - - - - - - - o - -
1 2 - 2 1 2 1 2 - 2 2 o - - - - o - o - - o
2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 - o o - - o - - - o -
2 1 2 2 2 - 3 2 2 1 2 o - o - o - o - o - o
>= 19
eighteen single-square constraints
note that the (3,3) square can't be occupied
- 2 2 2 1 1 1 1 - - - - a - - b c - - - - -
2 - 1 2 2 1 1 2 - 1 - d - - - e f - - - - -
2 1 0 3 2 2 4 1 - - 1 - - g - - - - - - - -
2 2 3 4 2 3 2 2 1 - - - - - - - - - - h - -
1 2 2 2 3 1 3 - 1 - 1 i j - - k l - - - - -
1 1 2 3 1 - 2 3 - 1 - m n - - o - p - - - -
1 1 4 2 3 2 2 - 1 - - - - - - - q - - - - -
1 2 1 2 - 3 - 2 - - - - - - - - - - - - - -
- - - 1 1 - 1 - - - - - - - r - - - - - - -
- 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - -
- - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 18
3-in-a-row constraint and c6 constraint
- - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - o - o - o
- - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 - 2 - 1 - 1 1 o - - - - 2 - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - o - o - o - o - o -
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 o - o - o 2 o - o - o
>= 8
another 3-in-a-row constraint and c6 constraint
- - - - - - - 1 1 1 1 - - - - - - - - o - o
- - - - - - 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - o -
- - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 1 1 - - - - - - - - - o -
- 1 - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - 1 - - - - - 2 1 2 - - - - - - - - 2 o 2
1 1 - - - - - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
- - 1 - - - - - 1 1 1 - - - - - - - - - o -
1 1 - - - - - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
- - 1 - - - 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - o -
1 1 - - - - - 1 1 1 1 o - - - - - - - o - o
>= 8
add above four constraints
1 2 2 2 2 1 3 3 3 3 4 o o - - o o o - o - o
2 - 2 2 4 1 4 3 4 3 3 o - - - o o - - - o -
2 2 0 4 2 4 4 4 - 4 4 - - o - - - - - - o o
2 2 4 4 2 4 2 4 4 2 3 - - - - - - - - o o -
2 4 2 2 4 1 4 2 2 3 4 o o - - o o - - - - o
1 1 4 4 1 - 3 4 4 4 2 o o - - o - o - o o -
3 4 4 2 4 3 4 2 2 4 4 o - - - - o - - - - o
3 3 4 4 2 4 2 4 4 2 4 - - - - - - - - o o -
3 4 - 4 2 4 2 4 - 4 4 o - - o - o - o - - o
3 3 4 2 3 4 4 2 4 4 4 - o o o - o - o - o -
4 3 4 3 4 2 4 4 4 4 4 o - o - o - o - o - o
>= 53
divide by 2 and round
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 o o - - o o o - o - o
1 - 1 1 2 1 2 2 2 2 2 o - - - o o - - - o -
1 1 0 2 1 2 2 2 - 2 2 - - o - - - - - - o o
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 - - - - - - - - o o -
1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 o o - - o o - - - - o
1 1 2 2 1 - 2 2 2 2 1 o o - - o - o - o o -
2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 o - - - - o - - - - o
2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 - - - - - - - - o o -
2 2 - 2 1 2 1 2 - 2 2 o - - o - o - o - - o
2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 - o o o - o - o - o -
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 o - o - o - o - o - o
>= 27
eight single-square constraints
note that the (3,3) square can't be occupied
1 1 1 1 - - - - - - - a b - c - - - - - - -
1 2 1 1 - 1 - - - - - d - - - - - - - - - -
1 1 0 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - 1 - 1 - - 1 - e - - - - - - - - - -
- - 1 1 - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - 1 - - - - 1 - - - - - f - - - - g
- - - 1 - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 1 - - - - - - - - - - h - - - - -
>= 8
add above two constraints
2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 o o - o o o o - o - o
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o - - - o o - - - o -
2 2 0 2 2 2 2 2 - 2 2 - - o - - - - - - o o
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o - - - - - - - o o -
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 o o - - o o - - - - o
1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 o o - - o o o - o o o
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o - - - - o - - - - o
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - - - - - - - - o o -
2 2 - 2 2 2 2 2 - 2 2 o - - o - o - o - - o
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - o o o - o - o - o -
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o - o - o o o - o - o
>= 35
divide by 2 and round
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - o o o o - o - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - o o - - - o -
1 1 0 1 1 1 1 1 - 1 1 - - o - - - - - - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - - - - o o -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - o o - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - o o o - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - o - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - o o -
1 1 - 1 1 1 1 1 - 1 1 o - - o - o - o - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - o o o - o - o - o -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - o - o o o - o - o
>= 18
=========================
11x11 proof Case 2B1
upper left and upper right (3,3) squares are unoccupied.
three single-square constraints
note that the (3,3) squares can't be occupied
- 1 1 - - - - - - 1 - - a - - - - - - - b -
1 - - 1 - - - 1 - - - c - - - - - - - - - -
1 - 0 - - - - - 0 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 3
multiply above constraint by 2
- 2 2 - - - - - - 2 - - a - - - - - - - b -
2 - - 2 - - - 2 - - - c - - - - - - - - - -
2 - 0 - - - - - 0 - 2 - - - - - - - - - - -
- 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 6
three 3-in-a-row constraints
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - 1 - 1 - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - 1 1 - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - 1 1 1 - - 1 1 a - - - - b - - - - c
- - 1 1 - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - 1 1 1 - - 1 1 a - - - - b - - - - c
- - 1 1 - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - 1 1 1 - - 1 1 a - - - - b - - - - c
>= 6
3-in-a-row constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - o - o - o
>= 2
sixteen single-square constraints
note that the (3,3) squares can't be occupied
1 - - 1 1 - 1 1 1 - 1 a - - b c - d e - - f
- 2 2 - 1 2 1 - 2 2 1 - - - - - - - - - - g
- 2 0 1 1 2 1 1 0 2 - - - - - - - - - - - -
1 - 1 1 1 1 1 - 1 2 1 h - - - - - - - - - i
1 - 2 1 - - 1 1 2 - 1 j - - - - - - - - - k
- 1 1 - 1 1 - - 1 1 1 - - - - l m - - - - n
- 1 1 1 - - 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 1 1 1 - - 2 - - - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - - - - - - - - - 1 o - - - - - - - - - p
- - 1 - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
>= 16
add above four constraints
1 2 2 1 1 - 1 1 1 2 1 o o - o o - o o - o o
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 o - - - - - - - - - o
2 2 0 1 1 2 1 1 0 2 2 - - - - - - - - - - -
1 2 1 1 1 1 1 - 1 2 1 o - - - - - - - - - o
1 1 2 1 1 - 2 1 2 1 1 o - - - - - - - - - o
- 1 2 1 1 1 - 1 2 1 1 - - - - o o - - - - o
1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 o - - - - o - - - - o
- 1 1 2 1 1 1 1 1 2 - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - 1 2 1 1 1 2 1 o - - - - o - - - - o
1 - 1 1 1 - 1 1 2 - 2 o - - - - - - - - - o
1 1 1 - 1 1 2 - 2 1 2 o - - - - o o - o - o
>= 30
multiply above constraint by 2
2 4 4 2 2 - 2 2 2 4 2 o o - o o - o o - o o
4 4 4 4 2 4 2 4 4 4 2 o - - - - - - - - - o
4 4 0 2 2 4 2 2 0 4 4 - - - - - - - - - - -
2 4 2 2 2 2 2 - 2 4 2 o - - - - - - - - - o
2 2 4 2 2 - 4 2 4 2 2 o - - - - - - - - - o
- 2 4 2 2 2 - 2 4 2 2 - - - - o o - - - - o
2 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 o - - - - o - - - - o
- 2 2 4 2 2 2 2 2 4 - - - - - - - - - - - -
2 2 2 - 2 4 2 2 2 4 2 o - - - - o - - - - o
2 - 2 2 2 - 2 2 4 - 4 o - - - - - - - - - o
2 2 2 - 2 2 4 - 4 2 4 o - - - - o o - o - o
>= 60
three 3-in-a-row constraints
- - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - a - a - a
- - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 1 1 1 - - - - - b c b c b c - - - - -
>= 6
another two 3-in-a-row constraints
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 - - - - - - - - - a - - - - -
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 - - - - - - - - - a - - - - -
- - - 1 1 - 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - 1 1 2 1 1 - 1 - - - - - - a - - - - -
- - - 1 - 1 - 2 - 1 - - - - - - b - b - b -
>= 4
three large triangle constraints
note that the (3,3) squares can't be occupied
- 1 - 1 - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
1 - - - 1 - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - -
- - 0 - - - - - 0 - - - - a - - - - - c - -
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 2 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
- 2 - 1 - - - 1 - 1 - - a - a - - - c - c -
- 1 1 1 1 2 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
2 1 1 - 1 1 1 - 1 - 1 b - - - - - - - - - -
- - 1 1 - - - - - - - - - - b - - - - - - -
1 1 - - - 1 - - - - - b - - - - - - - - - -
- - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 6
two curve constraints
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - - - - - - - - - 1 a - - - - - - - - - b
1 - 1 - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
1 1 - - 1 - 1 - - 1 1 - a - - - - - - - b -
- - 1 1 - - - 1 1 - - - - a - - - - - b - -
>= 4
twenty-two single-square constraints
note that the (3,3) squares can't be occupied
1 - 1 2 1 1 1 2 2 - - a - - - - b - - - - -
- 1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 - c - - d e f - - g h
1 1 0 2 3 - 3 2 0 - 1 - - - - - - - - - - -
2 1 2 3 1 3 1 4 2 1 2 - - - - - - - - - - -
- 1 1 1 1 1 - 1 1 1 - - i - - - j - - - k -
1 1 - 2 - - 1 2 - 2 - l m - - - - n - - o -
1 - 2 1 2 - 1 1 3 - 1 - - - - - - - - - - -
1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 - - - - - - - - - - p
2 1 1 1 1 - 1 1 2 - 1 - - - - - - - - - - -
- - 2 1 - 1 - 1 1 1 - - - q - - r - - s - -
2 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 t u - - - - - - - v -
>= 22
add above six constraints
3 5 5 5 3 1 4 5 5 5 3 o o - o o o o o o o o
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 o o - - o o o - - o o
5 5 0 4 5 5 5 5 0 5 5 - - o - - - - - o - -
5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 o - - - - - - - - - o
2 5 5 5 3 3 4 5 5 5 2 o o - - - o - - - o o
1 5 5 5 3 3 2 5 5 5 2 o o - o o o o o - o o
4 5 5 5 5 4 5 5 5 5 4 o - - - - o - - - - o
4 5 5 5 5 5 5 4 5 5 4 o - - - - o - - - - o
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 o - - o - o - - - - o
5 3 5 5 5 5 5 5 5 3 5 o o o - - o - - o o o
5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 o o o o o o o o o o o
>= 102
divide by 5 and round
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - o o o o o o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - o o o - - o o
1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 - - o - - - - - o - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - - - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - - o - - - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - o o o o o - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - o - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - o - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - o - o - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o - - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o o o o o o o o o
>= 21
=========================
11x11 proof case 2B2
upper left and lower right (3,3) squares are unoccupied.
a3 constraint
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - o - o - o - o - o -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 3
another a3 constraint
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 - - - - - - - - - o - - - - -
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 - - - - - - - - - o - - - - -
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 - - - - - - - - - o - - - - -
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 - - - - - - - - - o - - - - -
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 1 1 - - - - - - - - - o - - - - -
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
>= 3
two curve constraints
- - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - a - -
- - - - - - 1 - - 1 1 - - - - - - - - - a -
- - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - a
- - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - - 1 - 1 - - - - - b - - - - - - - - - -
- 1 1 - - - 1 - - - - - b - - - - - - - - -
- 1 - 1 1 - - - - - - - - - - b - - - - - -
>= 4
another two curve constraints
- - - - - - 1 1 - 1 - - - - - - - a - - - -
- - - - 1 - - - 1 1 - - - - - - - - - - a -
- - - - - 1 - 1 - - 1 - - - - - - - - - - a
- - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - - - - - - - - - - b - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - 1 - - - - - - - b - - - - - - - - -
- - 1 1 - - - - - - - - - b - - - - - - - -
>= 4
twenty-seven single-square constraints
note that the (3,3) squares can't be occupied
- 2 2 1 - 1 2 1 1 - 2 - a - - - b - - - - -
2 - - 2 2 - - 2 1 1 - c - - - d - - - e f -
2 - 0 1 2 1 4 1 - 1 1 - - g - - - - - - h -
1 2 1 4 2 3 2 4 1 2 1 - - - - - - - - - - -
- 2 2 2 3 2 2 2 4 - 2 - i - - j k - - - - -
1 - 1 3 2 1 2 3 1 - 1 l - - - m n o - - - p
2 - 4 2 2 2 3 2 2 2 - - - - - - q r - - s -
1 2 1 4 2 3 2 4 1 2 - - - - - - - - - - - -
1 1 - 1 4 1 2 1 0 - 2 - t - - - - - - u - -
- 1 1 2 - - 2 2 - - 2 - v w - - - x - - - y
2 - 1 1 2 1 - 1 2 2 - - - - - - z - - - A -
>= 27
add above five constraints
- 2 2 2 - 1 3 4 2 1 2 - o - - - o o - o - -
2 - - 2 4 1 2 2 2 3 1 o - - - o o - - o o -
2 - 0 2 2 2 4 4 - 2 2 - - o - - - - - - o o
2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 4 - - - - - o - - - - -
- 4 2 4 3 3 2 4 4 2 3 - o - - o o - - - - o
1 1 2 4 3 3 3 4 2 1 1 o o - o o o o o - o o
3 2 4 4 2 3 3 4 2 4 - o - - - - o o - - o -
4 2 4 4 4 4 4 4 2 2 1 - - - - - o - - - - -
2 2 - 4 4 2 2 2 0 - 2 o o - - - - - - o - -
1 3 2 2 2 1 4 2 - - 2 - o o - - o o - - - o
2 1 2 4 3 1 - 2 2 2 - - - o - o o - - - o -
>= 41
divide by 2 and round
- 1 1 1 - 1 2 2 1 1 1 o o o - o o o - o - -
1 - - 1 2 1 1 1 1 2 1 o - - - o o - - o o -
1 - 0 1 1 1 2 2 - 1 1 o - o - - - - - - o o
1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 - - - - - o - - - - -
- 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 o o - - o o - - - - o
1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 o o - o o o o o - o o
2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 - o - - - - o o - - o -
2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 - - - - - o - - - - -
1 1 - 2 2 1 1 1 0 - 1 o o - - - - - - o - -
1 2 1 1 1 1 2 1 - - 1 - o o - - o o - - - o
1 1 1 2 2 1 - 1 1 1 - - - o - o o - - - o -
>= 21
twenty single-square constraints
note that the (3,3) squares can't be occupied
1 1 1 1 1 - - - 1 1 1 a b - c d - - - - e f
1 2 2 1 - 1 1 1 1 - 1 g - - - - - - - - - h
1 2 0 1 1 1 - - 2 1 1 - - - - - - - - - - -
1 1 1 - - - - - - 1 - i - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - 1 - j - - - - - - - - - -
- 1 1 - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - k
- 1 - - - - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - l
1 1 2 - - 1 1 1 0 2 1 - - - - - - - - - - -
1 - 1 1 1 1 - 1 2 2 1 m - - - - - - - - - n
1 1 1 - - - 1 1 1 1 1 o p - - - - q r - s t
>= 20
add above two constraints
1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 o o o o o o o - o o o
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o - - - o o - - o o o
2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 o - o - - - - - - o o
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o - - - - o - - - - -
1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 o o - - o o - - - - o
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 o o - o o o o o - o o
2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 o - - - - o o - - o o
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - - - - - o - - - - o
2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 o o - - - - - - o - -
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o o o - - o o - - - o
2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 o o o - o o o o - o o
>= 41
divide by 2 and round
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o o o o o - o o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - o o - - o o o
1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 o - o - - - - - - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - o - - - - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - - o o - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o - o o o o o - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o - - - - o o - - o o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - o - - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 o o - - - - - - o - -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - - o o - - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o - o o o o - o o
>= 21
=========================
constraint derivations for configurations used in the proofs
The first group are all constraints consisting of
three-square configurations.
It is easy to see that one knight can't cover all three squares
of a configuration, so it takes at least two knights.
These constraints are valid anywhere on the board.
=========================
3-in-a-row constraint
- 1 - 1 - - - - - -
1 - - - 1 - - - - -
- 1 1 1 - - - o - -
1 - - - 1 - - - - -
- 1 1 1 - - - o - -
1 - - - 1 - - - - -
- 1 1 1 - - - o - -
1 - - - 1 - - - - -
- 1 - 1 - - - - - -
>= 2
=========================
curve constraint
- 1 - 1 - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - - - -
- 1 1 - - 1 - - - o - - - -
1 - - 1 1 - - - - - o - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - -
- - 1 - 1 - 1 - - - - - - -
- - - - 1 - - - - - - o - -
- - 1 - - - 1 - - - - - - -
- - - 1 - 1 - - - - - - - -
>= 2
=========================
large triangle constraint
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - -
- - 1 - 1 - - - - o - o - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - -
- - - 1 - - - - - - o - - -
- 1 - - - 1 - - - - - - - -
- - 1 - 1 - - - - - - - - -
>= 2
=========================
small triangle constraint
- 1 - 1 - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - -
- 1 1 1 - 1 - - o - - -
1 - - 1 1 - - - - o - -
- 1 1 1 - 1 - - o - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - -
- 1 - 1 - - - - - - - -
>= 2
=========================
a3 constraint derivation
five single-square constraints
1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - 2 - 2 - 2 - 1 - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - a - b - c - d - e -
- 1 - 2 - 2 - 2 - 1 - - - - - - - - - - - -
1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 1 - - - - - - - - - - -
>= 5
divide by 2 and round
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - o - o - o - o - o -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
>= 3
=========================
b3 constraint derivation
curve constraint
- - 1 1 - - - - - - - - - o - - - - - - - -
1 1 - - 1 - - - - - - - o - - - - - - - - -
- 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - - - - - - - - - - o - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 2
another curve constraint
- 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o - - - - - -
- 1 1 - - - 1 - - - - - o - - - - - - - - -
1 - - 1 - 1 - - - - - o - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 2
one single-square constraint
1 - - - - - - - - - - o - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 1
add above three constraints
1 1 1 2 1 - - - - - - o - o - o - - - - - -
1 2 2 - 1 - 1 - - - - - o - - - - - - - - -
1 2 - 2 - 1 - - - - - o - - - - - - - - - -
2 - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - o - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 5
divide by 2 and round
1 1 1 1 1 - - - - - - o - o - o - - - - - -
1 1 1 - 1 - 1 - - - - - o - - - - - - - - -
1 1 - 1 - 1 - - - - - o - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - o - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 3
=========================
c3 constraint derivation
3-in-a-row constraint
1 - 1 - 1 - - - o - o - o - - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
>= 2
small triangle constraint
- 1 1 1 - 1 - - - - o - - - - -
1 1 - 1 1 - - - - o - o - - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
>= 2
single-square constraint
- 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 - - - - - - - o - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
>= 1
add above three constraints
1 2 2 1 1 1 - - o - o - o - - -
2 1 2 1 2 - 1 - - o - o - - - -
1 2 - 2 - 2 - - o - - - - - - -
1 - 2 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
>= 5
divide by 2 and round
1 1 1 1 1 1 - - o - o - o - - -
1 1 1 1 1 - 1 - - o - o - - - -
1 1 - 1 - 1 - - o - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
>= 3
=========================
a4 constraint derivation
two 3-in-a-row constraints
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 a - a - a - b - b - b
1 - 1 - 2 - 2 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 2 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 4
three single-square constraints
1 - - 1 - - - 1 - - 1 c - - - - - - - - - e
- - 1 - - 1 - - 1 - - - - - - - d - - - - -
- 1 - 1 - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
>= 3
add above two constraints
2 - 1 1 1 - 1 1 1 - 2
1 - 2 - 2 1 2 - 2 - 1
- 2 - 2 - 2 - 2 - 2 -
- - - - 1 - 1 - - - -
>= 7
divide by 2 and round.
1 - 1 1 1 - 1 1 1 - 1 o - o - o - o - o - o
1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 - - - - - o - - - - -
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
>= 4
=========================
a5 constraint derivation
two large triangle constraints
1 1 - - - 2 - - - 1 1 a - - - - - - - - - b
- - 1 1 - - - 1 1 - - - - - a - - - b - - -
1 1 - - - 2 - - - 1 1 a - - - - - - - - - b
- - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 4
small triangle constraint
- - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - o -
- - - - - - - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 2
three single-square constraints
1 - - 2 - - - 1 - - - a - - - - - - - - - -
- 1 1 - - 1 - - - - - - b - - - c - - - - -
- 1 - 2 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 3
add above three constraints
2 1 - 2 - 2 - 2 - 2 2 o - - - - - - - - - o
- 1 2 1 - 1 - 1 2 1 - - o - o - o - o - o -
1 2 - 2 - 2 - 2 - 2 2 o - - - - - - - - - o
1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 9
divide by 2 and round
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
- 1 1 1 - 1 - 1 1 1 - - o - o - o - o - o -
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 5
=========================
b5 constraint derivation
two 3-in-a-row constraints
multiplied by 3
x 3
3 3 - - - - 3 - 3 - 3 a - - - - - b - b - b
- - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - - - - - - - - - - -
3 3 - - - 3 - 3 - 3 - a - - - - - - - - - -
- - 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3 3 - - - - - - - - - a - - - - - - - - - -
- - 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 12
another 3-in-a-row constraint
x 1
1 - 1 - 1 - - - - - - o - o - o - - - - - -
1 - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 2
curve constraint
x 1
- 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o - - - - - -
- 1 1 - - - 1 - - - - - o - - - - - - - - -
1 - - 1 - 1 - - - - - o - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 2
another curve constraint
x 1
- - 1 1 - - - - - - - - - o - - - - - - - -
1 1 - - 1 - - - - - - - o - - - - - - - - -
- 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - - - - - - - - - - o - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 2
two single-square constraints
multiplied by 2
x 2
- - - 1 - - - 1 - - 1 - - - - - - - - - - a
- - - - - 1 - - 1 - - - - - - - b - - - - -
- - - 1 - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 4
add above five constraints
4 4 2 3 2 - 3 1 3 - 4 o - o - o - o - o - o
2 2 5 - 5 2 4 - 4 - 3 - o - - - o - - - - -
4 5 - 4 - 4 - 4 - 4 - o - - - - - - - - - -
2 - 5 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
4 4 - - - - - - - - - o - - - - - - - - - -
- - 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 22
divide by 5 and round
1 1 1 1 1 - 1 1 1 - 1 o - o - o - o - o - o
1 1 1 - 1 1 1 - 1 - 1 - o - - - o - - - - -
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - o - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - o - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 5
=========================
a6 constraint derivation
a curve constraint and a 3-in-a-row constraint
- - 1 1 1 1 1 - - - - - - a - - b - - - - -
1 1 - 1 1 - - 1 - - - - a - - - - - - - - -
- 1 - 1 1 1 1 - - - - - - - - - b - - - - -
1 - 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 - - - 1 1 1 - - - - a - - - - b - - - - -
- - 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 4
another curve constraint and a 3-in-a-row constraint
- 1 - 1 1 - - - - - - - - - - a - - - - - -
- 1 1 - - - 1 - - - - - a - - - - - - - - -
1 - - 1 - 1 - - - - - a - - - - - - - - - -
1 1 1 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
1 - 1 - 1 - - - - - - b - b - b - - - - - -
1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 4
three single-square constraints
1 - - - - 1 - - - - - a - - - - b - - - - -
- - 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 - - - - - - - - - - c - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 3
add above three constraints
1 1 1 2 2 2 1 - - - - o - o - o o - - - - -
1 2 2 2 1 - 1 2 - - - - o - - - - - - - - -
1 2 - 2 2 2 2 - - - - o - - - - o - - - - -
2 2 2 2 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
2 1 2 - 2 1 2 - - - - o - - - - o - - - - -
2 - 2 1 1 - - 1 - - - o - o - o - - - - - -
1 1 2 - 2 - 2 - - - - - - - - - - - - - - -
- 2 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 11
divide by 2 and round
1 1 1 1 1 1 1 - - - - o - o - o o - - - - -
1 1 1 1 1 - 1 1 - - - - o - - - - - - - - -
1 1 - 1 1 1 1 - - - - o - - - - o - - - - -
1 1 1 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - -
1 1 1 - 1 1 1 - - - - o - - - - o - - - - -
1 - 1 1 1 - - 1 - - - o - o - o - - - - - -
1 1 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 6
=========================
b6 constraint derivation
b3 constraint
- - - - - - 1 1 1 1 1 - - - - - - o - o - o
- - - - 1 - 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - o -
- - - - - 1 - 1 - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - 1 1 - - - - - - - - - - o
- - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 3
another b3 constraint
1 1 1 1 1 - - - - - - o - o - o - - - - - -
1 1 1 - 1 - 1 - - - - - o - - - - - - - - -
1 1 - 1 - 1 - - - - - o - - - - - - - - - -
1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - - - o - - - - - - - - - -
- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 3
two 3-in-a-row constraints
1 1 - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - 1 1 a - - - - - - - - - b
- - 1 - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 4
one single-square constraint
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 1 - - - - - - - - - - o - - - - -
- - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 1
add above four constraints
2 2 1 2 1 - 1 2 1 2 2 o - o - o - o - o - o
1 1 2 - 2 1 2 - 2 1 1 - o - - - o - - - o -
2 2 - 2 - 2 - 2 - 2 2 o - - - - - - - - - o
1 - 2 - 1 - 1 - 2 - 1 - - - - - - - - - - -
2 2 - - - - - - - 2 2 o - - - - - - - - - o
- - 2 - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - -
- 2 - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 11
divide by 2 and round
1 1 1 1 1 - 1 1 1 1 1 o - o - o - o - o - o
1 1 1 - 1 1 1 - 1 1 1 - o - - - o - - - o -
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
1 1 - - - - - - - 1 1 o - - - - - - - - - o
- - 1 - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 6
=========================
c6 constraint derivation
two c3 constraints
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 a - a - a - b - b - b
1 1 1 1 2 - 2 1 1 1 1 - a - a - - - b - b -
1 1 - 1 - 2 - 1 - 1 1 a - - - - - - - - - b
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 6
a5 constraint
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
- 1 1 1 - 1 - 1 1 1 - - o - o - o - o - o -
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 5
add above two constraints
2 2 1 2 1 3 1 2 1 2 2 o - o - o - o - o - o
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 - o - o - o - o - o -
2 2 - 2 - 3 - 2 - 2 2 o - - - - - - - - - o
2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - - - - - - - - - - -
- 2 - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 11
divide by 2 and round
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 o - o - o - o - o - o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - o - o - o - o - o -
1 1 - 1 - 2 - 1 - 1 1 o - - - - - - - - - o
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - -
- 1 - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>= 6